Altay Bayındır, 2019 yılında MKE Ankaragücü'nden 1,5 milyon Euro bonservis bedeliyle Fenerbahçe'ye transfer oldu. Deneyimli kaleci Volkan Demirel'in futbolu bırakmasının ardından kaleyi devralan Altay, hazırlık maçlarında gösterdiği performansla 2019-2020 sezonuna birinci kaleci olarak başladı.
Sarı-lacivertli formayla ilk lig maçına 19 Ağustos 2019'da Gaziantep karşısında çıkan Altay, karşılaşmayı gol yemeden tamamladı. 30 Ekim 2021'de Konyaspor deplasmanında Serdar Gürler ile çarpışarak omzundan sakatlanan Bayındır, bir süre formasından uzak kaldı. Bu süreçte kaleyi Berke Özer devraldı.
13 Mart 2022'de Alanyaspor karşısında yaptığı kurtarışlar ve asistle dikkat çeken Altay, takımının 5-2 kazandığı mücadelede öne çıkan isimlerden biri oldu.
